Система счисления информация. Системы счисления

Система счисления - это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков - цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления - это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй - I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных - нет. Например:

11 - здесь первая единица обозначает десять, а вторая - 1.
II - здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 - здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором - 50, а в третьем - 500.

XXV, XVI, VII - здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления - это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд - сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
0 - это ноль
1 - это один (и это предел разряда)
10 - это два
11 - это три (и это снова предел)
100 - это четыре
101 - пять
110 - шесть
111 - семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять - это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка - это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001 2 = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления - это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов - это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой - переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 1011101 2 = 1358.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе - это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления - это 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи - это FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 - это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение - 255. Не забывайте про 0 - это как раз 256-е состояние

Представление чисел с помощью письменных знаков .

Система счисления:

• даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные , непозиционные и смешанные .

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам ; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления , возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается -ричная система счисления, которая определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака в -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

, где - это целые числа, называемые цифрами , удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда . Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах , левые нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число в ней представляется как линейная комбинация :

, где на коэффициенты , называемые как и прежде цифрами , накладываются некоторые ограничения.

Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида как функции от смешанные системы счисления могут быть степенными , показательными и т. п. Когда для некоторого , смешанная система счисления совпадает с показательной -ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней, часов, минут, секунд» соответствует значению секунд.

Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов , и каждое натуральное число представляется в виде:

, где .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий : имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 - (5,4,3,2,1)), найдём 101-ую перестановку: 100 = 4!*4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; положим ti - коэффициент при числе i!, тогда t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) - таким образом, 101-я перестановка будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи . Каждое натуральное число в ней представляется в виде:

, где - числа Фибоначчи, , при этом в коэффициентах есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты

, где .

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках . СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где

…

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в .

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .

Система счисления Штерна–Броко - способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко .

Системы счисления разных народов

Единичная система счисления

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком - так возникают прообразы будущих цифр.

Древнеегипетская система счисления

Вавилонская система счисления

Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

Еврейская система счисления

Греческая система счисления

Римская система счисления

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Система счисления майя

См. также

Примечания

Ссылки

• Гашков С. Б. Системы счисления и их применение . - М .: МЦНМО , 2004. - (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Фомин С. В. Системы счисления . - М .: Наука, 1987. - 48 с. - (Популярные лекции по математике).
• Яглом И. Системы счисления // Квант . - 1970. - № 6. - С. 2-10.
• Цифры и системы счисления . Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
• Стахов А. Роль систем счисления в истории компьютеров .
• Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций "Цифровые устройства и микропроцессоры"
• Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел

Wikimedia Foundation . 2010 .

Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …

Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a 1 , a 2 ,…,a n . При этом каждой цифре a 1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a 1 , взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:

Сокращенная запись числа N S имеет вид:

При этой позиции цифр a 1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a 1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a i

В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения:

Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы.

Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число

Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот.

Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты a i =0, …, 7. Например,

Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например,

В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 1.

десятичная	двоичная	восьмеричная	шестнадцатеричная
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления.

Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8.

Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например,

273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10.­

Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например,

39C 16 =0011 1001 1100 2-16

При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной.

Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 68 8 в двоично-восьмеричной системе будет 62 8 =110 010 2-8 ; 6 2

это же число в десятичной системе будет; если теперь число 50 10 представить в двоичной системе, получим 50 10 =110 010 2 .

Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (62 8) совпадает.

1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую .

Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам:

Правило 1.

При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае:

• при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, начиная с запятой в левую сторону для целой части и в правую – для дробной части, число разбивается по триадам и каждая триада заменяется восьмеричной цифрой;
• при переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по триадам;
• при переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, число разбивается по тетрадам и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой (P=16=2 4 , k=4, s=2);
• при сохранении числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по тетрадам.

Например,

1. 011 011 011, 101 110 2 = 333,56 8 ;

1. 167,56 8 = 001 110 111, 101 110 2 ;

1. 0011 1011 0100, 1111 1010 2 = 3B4,FA 16 ;

1. A29,CF 16 = 1010 0010 1001, 1100 1111 2 .

Правило 2.

При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае:

• Целая часть числа делится на новое основание p; полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием p; затем полученное число снова делится на основание p, в результате определяется второй остаток, соответствующий следующей после младшей цифре числа с основанием p; деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя; последнее частное даёт старшую цифру числа с основанием p. Например,

1. Перевести число 26 10 в двоичную систему счисления:

Таким образом, 26 10 = 11010 2 .

1. Перевести число 191 10 в восьмеричную систему счисления:

старший разряд

Таким образом, 191 10 = 277 8 .

• Дробная часть числа умножается на новое основание p, при этом целая часть полученного произведения является старшей цифрой дробной части числа с основанием p; затем дробная часть произведения снова умножается на основание p; полученная часть произведения будет второй искомой цифрой; снова дробная часть умножается на основание p и т. д.

Например, число 0,31 10 перевести в двоичную систему счисления:

При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления.

Система счисления - это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами . Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные . Знаки, используемые при записи чисел , называются цифрами.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в числе .

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Пример 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции . Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой . Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q . q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q – 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутая форма записи числа

Пусть Aq - число в системе с основанием q , аi - цифры данной системы счисления, присутствующие в записи числа A , n + 1 - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа:

Развернутой формой числа А называется запись в виде:

Например, для десятичного числа:

В следующих примерах приводится развернутая форма шестнадцатеричного и двоичного чисел:

В любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Например, перевод в десятичную систему написанных выше чисел производится так:

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Перевод целых чисел

Целое десятичное число X требуется перевести в систему с основанием q : X = (a n a n-1 …a 1 a 0) q . Нужно найти значащие цифры числа: . Представим число в развернутой форме и выполним тождественное преобразование:

Отсюда видно, что a 0 есть остаток от деления числа X на число q . Выражение в скобках - целое частное от этого деления. Обозначим его за X 1. Выполняя аналогичные преобразования, получим:

Следовательно, a 1 есть остаток от деления X 1 на q . Продолжая деление с остатком, будем получать последовательность цифр искомого числа. Цифра an в этой цепочке делений будет последним частным, меньшим q .

Сформулируем полученное правило: для того чтобы перевести целое десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно :

1) основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить по правилам десятичной арифметики;

2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1. Перевести число 37 10 в двоичную систему.

Для обозначения цифр в записи числа используем символику: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Отсюда: 37 10 = l00l0l 2

Пример 2. Перевести десятичное число 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы:

Отсюда следует: 315 10 = 473 8 = 13B 16 . Напомним, что 11 10 = B 16 .

Десятичную дробь X < 1 требуется перевести в систему с основанием q : X = (0, a –1 a –2 … a –m+1 a –m) q . Нужно найти значащие цифры числа: a –1 , a –2 , …, a –m . Представим число в развернутой форме и умножим его на q :

Отсюда видно, что a –1 X на число q . Обозначим за X 1 дробную часть произведения и умножим ее на q :

Следовательно, a –2 есть целая часть произведения X 1 на число q . Продолжая умножения, будем получать последовательность цифр. Теперь сформулируем правило: для того чтобы перевести десятичную дробь в систему счисления с другим основанием, нужно :

1) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

2) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

3) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь в левом столбце находится целая часть чисел, а в правом - дробная.

Отсюда: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Перевод смешанных чисел , содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Двоичные вычисления

Согласно принципу Джона фон Неймана, компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления. В рамках базового курса достаточно ограничиться рассмотрением вычислений с целыми двоичными числами. Для выполнения вычислений с многозначными числами необходимо знать правила сложения и правила умножения однозначных чисел. Вот эти правила:

Принцип перестановочности сложения и умножения работает во всех системах счисления. Приемы выполнения вычислений с многозначными числами в двоичной системе аналогичны десятичной. Иначе говоря, процедуры сложения, вычитания и умножения “столбиком” и деления “уголком” в двоичной системе производятся так же, как и в десятичной.

Рассмотрим правила вычитания и деления двоичных чисел. Операция вычитания является обратной по отношению к сложению. Из приведенной выше таблицы сложения следуют правила вычитания:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Вот пример вычитания многозначных чисел:

Полученный результат можно проверить сложением разности с вычитаемым. Должно получиться уменьшаемое число.

Деление - операция обратная умножению. В любой системе счисления делить на 0 нельзя. Результат деления на 1 равен делимому. Деление двоичного числа на 10 2 ведет к перемещению запятой на один разряд влево, подобно десятичному делению на десять. Например:

Деление на 100 смещает запятую на 2 разряда влево и т.д. В базовом курсе можно не рассматривать сложные примеры деления многозначных двоичных чисел. Хотя способные ученики могут справиться и с ними, поняв общие принципы.

Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти в ее истинном двоичном виде, весьма громоздко из-за большого количества цифр. Имеется в виду запись такой информации на бумаге или вывод ее на экран. Для этих целей принято использовать смешанные двоично-восьмеричную или двоично-шестнадцатеричную системы.

Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлением числа. При переводе числа из одной системы в другую одной шестнадцатеричной цифре соответствует четырехразрядный двоичный код. Это соответствие отражено в двоично-шестнадцатеричной таблице:

Двоично-шестнадцатеричная таблица

Такая связь основана на том, что 16 = 2 4 и число различных четырехразрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из шестнадцатеричных в двоичные и обратно производится путем формальной перекодировки по двоично-шестнадцатеричной таблице .

Вот пример перевода 32-разрядного двоичного кода в 16-ричную систему:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то его легко перевести в двоичный код. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного . Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу. Тогда действительно для них шестнадцатеричное представление станет эквивалентным двоичному.

В двоично-восьмеричной системе каждой восьмеричной цифре соответствует триада двоичных цифр. Эта система позволяет сократить двоичный код в 3 раза.

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример - палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 - IX.
3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
4. в которой использовалось всего два обозначения для записи - клинья и стрелочки.
5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

• двоичная;
• восьмеричная;
• десятичная;
• шестнадцатеричная;
• шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике - двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры - 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль - его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека - процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв - A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 - 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело - получаем в остатке 4 - 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая - m-2 и так далее, где m - количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно - достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике - система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую - залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.