Kokie yra pagrindiniai veiksniai? Pirminis faktorizavimas

Tai vienas iš pagrindinių būdų supaprastinti išraišką. Norėdami pritaikyti šį metodą, prisiminkime daugybos ir sudėjimo paskirstymo dėsnį (nebijokite šių žodžių, jūs tikrai žinote šį dėsnį, tik galbūt pamiršote jo pavadinimą).

Įstatymas sako: norint padauginti dviejų skaičių sumą iš trečiojo skaičiaus, reikia padauginti kiekvieną narį iš šio skaičiaus ir pridėti gautus rezultatus, kitaip tariant, .

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją, ir būtent ši atvirkštinė operacija mus domina. Kaip matyti iš pavyzdžio, bendrą koeficientą a galima išimti iš skliaustų.

Panašią operaciją galima atlikti ir su kintamaisiais, tokiais kaip ir, pavyzdžiui, ir su skaičiais: .

Taip, tai labai elementarus pavyzdys, kaip ir anksčiau pateiktas pavyzdys su skaičiaus išskaidymu, nes visi žino, kad skaičiai dalijasi iš, bet ką daryti, jei gausite sudėtingesnę išraišką:

Kaip sužinoti, iš ko, pavyzdžiui, skaičius dalijasi? Ne, su skaičiuotuvu tai gali padaryti bet kas, bet be jo sunku? Ir tam yra dalijimosi ženklai, šiuos ženklus tikrai verta žinoti, jie padės greitai suprasti, ar bendras veiksnys gali būti ištrauktas iš skliaustų.

Dalyvavimo požymiai

Prisiminti juos nėra taip sunku; greičiausiai dauguma jų jau buvo jums pažįstami, o kai kurie bus naujas naudingas atradimas, daugiau informacijos rasite lentelėje:

Pastaba: lentelėje trūksta dalijimosi iš 4 testo. Jei paskutiniai du skaitmenys dalijasi iš 4, tai visas skaičius dalijasi iš 4.

Na, kaip jums patinka ženklas? Patariu tai atsiminti!

Na, grįžkime prie išsireiškimo, gal jis gali ištraukti iš skliausto ir to užtenka? Ne, matematikai linkę supaprastinti, todėl iki galo, ištverk VISKAS, kas ištverta!

Taigi su žaidimu viskas aišku, o kaip su skaitine išraiškos dalimi? Abu skaičiai yra nelyginiai, todėl negalite padalyti iš

Galite naudoti dalijamumo testą: skaičių ir skaitmenų, sudarančių skaičių, suma yra lygi ir dalijasi iš, reiškia, dalijasi iš.

Žinodami tai, galite saugiai suskirstyti į stulpelį, o padalydami iš gauname (dalomumo ženklai yra naudingi!). Taigi skaičių galime išimti iš skliaustų, kaip ir y, ir dėl to turime:

Norėdami įsitikinti, kad viskas buvo tinkamai išplėsta, galite patikrinti išplėtimą padaugindami!

Bendras veiksnys taip pat gali būti išreikštas galia. Pavyzdžiui, ar čia matote bendrą daugiklį?

Visi šios išraiškos nariai turi x – juos išimame, visus dalijame – vėl išimame, žiūrime, kas atsitiko: .

2. Sutrumpintos daugybos formulės

Sutrumpintos daugybos formulės jau buvo paminėtos teoriškai; jei jums sunku prisiminti, kas tai yra, turėtumėte atnaujinti atmintį.

Na, o jei laikote save labai protingu ir tingite skaityti tokį informacijos debesį, tada tiesiog skaitykite, pažiūrėkite į formules ir iškart imkitės pavyzdžių.

Šio skilimo esmė yra pastebėti tam tikrą formulę priešais esančiame posakyje, pritaikyti ją ir taip gauti kažko ir kažko sandaugą, štai ir visas skilimas. Toliau pateikiamos formulės:

Dabar pabandykite apskaičiuoti šias išraiškas naudodami aukščiau pateiktas formules:

Štai kas turėjo atsitikti:

Kaip pastebėjote, šios formulės yra labai efektyvus faktoringo būdas, ne visada tinkamas, bet gali būti labai naudingas!

3. Grupavimas arba grupavimo metodas

Štai jums dar vienas pavyzdys:

Taigi ką tu ketini su juo daryti? Atrodo, kad kažkas yra padalinta į ir į, ir kažkas į ir į

Bet jūs negalite padalinti visko į vieną dalyką, gerai čia nėra bendro faktoriaus, kad ir kaip atrodytum, ką turėtum taip palikti, neįskaitant į veiksnius?

Čia reikia parodyti išradingumą, o šio išradingumo pavadinimas yra grupavimas!

Jis naudojamas būtent tada, kai ne visi nariai turi bendrus daliklius. Norint sugrupuoti reikia rasti terminų grupes, kurios turi bendrų veiksnių ir pertvarkyti juos taip, kad iš kiekvienos grupės būtų galima gauti tą patį koeficientą.

Žinoma, nebūtina jų pertvarkyti, bet tai suteikia aiškumo, aiškumo dėlei atskiras išraiškos dalis galite dėti skliausteliuose; nedraudžiama jų dėti tiek, kiek norite, svarbiausia nesupainioti ženklai.

Ar visa tai nėra labai aišku? Leiskite man paaiškinti pavyzdžiu:

Į daugianarį – įdedame terminą – po termino – gauname

sugrupuojame pirmuosius du terminus į atskirą skliaustą, taip pat sugrupuojame trečią ir ketvirtą terminus, išėmę minuso ženklą iš skliausto, gauname:

Dabar atskirai apžvelgiame kiekvieną iš dviejų "krūvų", į kurias suskirstėme išraišką skliausteliuose.

Gudrybė yra suskirstyti į krūvas, iš kurių galima išimti didžiausią faktorių, arba, kaip šiame pavyzdyje, pabandyti sugrupuoti terminus taip, kad išėmus veiksnius iš krūvelių iš skliaustų, vis tiek liktų tie patys posakiai. skliausteliuose.

Iš abiejų skliaustų išimame bendrus terminų veiksnius, iš pirmojo skliausčio, o iš antrojo gauname:

Bet tai nėra skilimas!

Pasilas skilimas turėtų likti tik daugyba, bet kol kas mūsų daugianomas tiesiog padalintas į dvi dalis...

BET! Šis daugianomas turi bendrą koeficientą. Tai

už skliausto ir gauname galutinį produktą

Bingo! Kaip matote, čia jau yra sandauga ir už skliaustų nėra nei pridėjimo, nei atėmimo, skaidymas baigtas, nes Daugiau neturime ko išimti iš skliaustų.

Stebuklas gali atrodyti, kad iš skliaustų išėmę veiksnius likome su identiškais posakiais skliaustuose, kuriuos vėl išdėliojome iš skliaustų.

Ir tai visai ne stebuklas, faktas yra tas, kad pavyzdžiai vadovėliuose ir vieningame valstybiniame egzamine yra specialiai padaryti taip, kad dauguma užduočių išraiškų supaprastinimui ar faktorizavimas tinkamai prižiūrėjus juos, jie lengvai supaprastinami ir paspaudus mygtuką smarkiai subyra kaip skėtis, todėl kiekvienoje išraiškoje ieškokite būtent to mygtuko.

Aš išsiblaškiau, ką mes darome su supaprastinimu? Sudėtingas daugianario įgavo paprastesnę formą: .

Sutikite, jis nėra toks didelis, kaip buvo?

4. Viso kvadrato pasirinkimas.

Kartais, norint taikyti sutrumpintas daugybos formules (pakartoti temą), reikia transformuoti esamą daugianarį, pateikiant vieną iš jo narių kaip dviejų narių sumą arba skirtumą.

Kokiu atveju turite tai padaryti, sužinosite iš pavyzdžio:

Šios formos daugianario negalima išplėsti naudojant sutrumpintas daugybos formules, todėl jį reikia transformuoti. Galbūt iš pradžių jums nebus aišku, į kurį terminą reikėtų suskirstyti, tačiau laikui bėgant išmoksite iš karto pamatyti sutrumpintos daugybos formules, net jei jos nėra visiškai, ir greitai nustatysite, ko trūksta visa formulė, bet kol kas - mokykis , mokinys, tiksliau moksleivis.

Norėdami gauti visą kvadratinio skirtumo formulę, reikia čia. Trečiąjį narį įsivaizduokime kaip skirtumą, gausime: Skliausteliuose esančiai išraiškai galite pritaikyti skirtumo kvadrato formulę (nepainioti su kvadratų skirtumu!!!), turime: , šiai išraiškai galime pritaikyti kvadratų skirtumo formulę (nepainioti su skirtumu kvadratu!!!), įsivaizduodami, kaip, gauname: .

Faktorizuota išraiška ne visada atrodo paprastesnė ir mažesnė nei buvo prieš išplėtimą, tačiau tokia forma ji tampa lankstesnė ta prasme, kad nereikia jaudintis dėl ženklų keitimo ir kitų matematinių nesąmonių. Na, o kad galėtumėte nuspręsti patys, šiuos posakius reikia suskaidyti faktoriais.

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

5. Kvadratinio trinalio faktorinavimas

Norėdami sužinoti kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius, žr. kitus skaidymo pavyzdžius.

5 daugianario faktorinavimo metodų pavyzdžiai

1. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų. Pavyzdžiai.

Ar prisimeni, kas yra paskirstymo įstatymas? Tai yra taisyklė:

Pavyzdys:

Dauginamojo koeficientas.

Sprendimas:

Kitas pavyzdys:

Išskirkite tai.

Sprendimas:

Jei visas terminas išimamas iš skliaustų, skliausteliuose lieka vienetas!

2. Sutrumpintos daugybos formulės. Pavyzdžiai.

Dažniausiai naudojamos formulės yra kvadratų skirtumas, kubelių skirtumas ir kubelių suma. Ar prisimeni šias formules? Jei ne, skubiai pakartokite temą!

Pavyzdys:

Įvertinkite išraišką.

Sprendimas:

Šioje išraiškoje nesunku sužinoti kubelių skirtumą:

Pavyzdys:

Sprendimas:

3. Grupavimo metodas. Pavyzdžiai

Kartais galite sukeisti terminus, kad iš kiekvienos gretimų terminų poros būtų galima išskirti tą patį veiksnį. Šis bendras veiksnys gali būti pašalintas iš skliausto ir pradinis daugianomas pavirs sandauga.

Pavyzdys:

Dauginamojo koeficientas.

Sprendimas:

Sugrupuokime terminus taip:
.

Pirmoje grupėje iš skliaustų išimame bendrą koeficientą, o antroje -:
.

Dabar bendrą veiksnį taip pat galima išimti iš skliaustų:
.

4. Viso kvadrato parinkimo būdas. Pavyzdžiai.

Jei daugianarį galima pavaizduoti kaip dviejų reiškinių kvadratų skirtumą, belieka taikyti sutrumpintą daugybos formulę (kvadratų skirtumas).

Pavyzdys:

Dauginamojo koeficientas.

Sprendimas:Pavyzdys:

\begin(masyvas)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\trumpas(((x)^(2))+2\ctaškas 3\ctaškas x+9)_(kvadratas\suma\ ((\left) (x+3 \dešinė))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(masyvas)

Dauginamojo koeficientas.

Sprendimas:

\begin(masyvas)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\trumpa(((x)^(4))-2\ctaškas 2\ctaškas ((x)^(2) )+4)_(kvadratas\ skirtumai((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \dešinė))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(masyvas)

5. Kvadratinio trinalio faktorinavimas. Pavyzdys.

Kvadratinis trinaris yra daugianario formos, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Kintamojo reikšmės, dėl kurių kvadratinis trinaris išnyksta, vadinamos trinalio šaknimis. Todėl trinalio šaknys yra kvadratinės lygties šaknys.

Teorema.

Pavyzdys:

Išskaidykime kvadratinį trinarį: .

Pirmiausia išspręskime kvadratinę lygtį: Dabar galime parašyti šio kvadratinio trinalio faktorizaciją:

Dabar tavo nuomonė...

Išsamiai aprašėme, kaip ir kodėl koeficientuoti daugianarį.

Pateikėme daug pavyzdžių, kaip tai padaryti praktiškai, nurodėme spąstus, pateikėme sprendimus...

Ką tu sakai?

Ką manote apie šį straipsnį? Ar naudojate šiuos metodus? Ar supranti jų esmę?

Rašyk komentaruose ir... ruoškis egzaminui!

Kol kas jis yra svarbiausias tavo gyvenime.

Šiame straipsnyje rasite visą informaciją, reikalingą atsakyti į klausimą, kaip suskaičiuoti skaičių į pirminius veiksnius. Pirma, pateikiama bendra skaičiaus skaidymo į pirminius veiksnius idėja ir pateikiami skilimo pavyzdžiai. Toliau parodyta kanoninė skaičiaus skaidymo į pirminius veiksnius forma. Po to pateikiamas savavališkų skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmas ir pateikiami skaičių skaidymo naudojant šį algoritmą pavyzdžiai. Taip pat svarstomi alternatyvūs metodai, leidžiantys greitai suskaičiuoti mažus sveikuosius skaičius į pirminius koeficientus, naudojant dalijimosi testus ir daugybos lenteles.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

Pirmiausia pažiūrėkime, kas yra pagrindiniai veiksniai.

Akivaizdu, kad kadangi šioje frazėje yra žodis „veiksniai“, yra kai kurių skaičių sandauga, o kvalifikacinis žodis „paprastas“ reiškia, kad kiekvienas veiksnys yra pirminis skaičius. Pavyzdžiui, 2·7·7·23 formos sandaugoje yra keturi pagrindiniai koeficientai: 2, 7, 7 ir 23.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

Tai reiškia, kad šis skaičius turi būti pavaizduotas kaip pirminių veiksnių sandauga, o šio sandaugos vertė turi būti lygi pradiniam skaičiui. Kaip pavyzdį panagrinėkime trijų pirminių skaičių 2, 3 ir 5 sandaugą, kuri lygi 30, taigi skaičiaus 30 išskaidymas į pirminius veiksnius yra 2·3·5. Paprastai skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius rašomas lygybe, mūsų pavyzdyje bus taip: 30=2·3·5. Atskirai pabrėžiame, kad pagrindiniai plėtros veiksniai gali pasikartoti. Tai aiškiai iliustruoja toks pavyzdys: 144=2·2·2·2·3·3. Tačiau formos 45=3·15 atvaizdavimas nėra išskaidymas į pirminius veiksnius, nes skaičius 15 yra sudėtinis skaičius.

Kyla toks klausimas: „Kokius skaičius galima išskaidyti į pirminius veiksnius?

Ieškodami atsakymo į jį, pateikiame tokius samprotavimus. Pirminiai skaičiai pagal apibrėžimą yra tarp didesnių už vieną. Atsižvelgiant į šį faktą ir , Galima teigti, kad kelių pirminių veiksnių produktas yra teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vieną. Todėl faktorizacija į pirminius veiksnius vyksta tik teigiamiems sveikiesiems skaičiams, kurie yra didesni už 1.

Bet ar visi sveikieji skaičiai, didesni už vieną, gali būti įtraukti į pirminius veiksnius?

Akivaizdu, kad paprastų sveikųjų skaičių įtraukti į pirminius veiksnius neįmanoma. Taip yra todėl, kad pirminiai skaičiai turi tik du teigiamus veiksnius – vieną ir patį save, todėl jie negali būti pavaizduoti kaip dviejų ar daugiau pirminių skaičių sandauga. Jei sveikąjį skaičių z būtų galima pavaizduoti kaip pirminių skaičių a ir b sandaugą, tai dalijimosi samprata leistų daryti išvadą, kad z dalijasi ir iš a, ir iš b, o tai neįmanoma dėl skaičiaus z paprastumo. Tačiau jie mano, kad bet koks pirminis skaičius pats savaime yra skilimas.

O kaip su sudėtiniais skaičiais? Ar sudėtiniai skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius ir ar visi sudėtiniai skaičiai turi tokį skaidymą? Pagrindinė aritmetikos teorema į daugelį šių klausimų atsako teigiamai. Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad bet koks sveikasis skaičius a, didesnis už 1, gali būti išskaidytas į pirminių faktorių p 1, p 2, ..., p n sandaugą, o skaidymas turi formą a = p 1 · p 2 · … · p n, ir tai išplėtimas yra unikalus, jei neatsižvelgsite į veiksnių eilę

Kanoninis skaičiaus faktorizavimas į pirminius veiksnius

Išplečiant skaičių pirminiai veiksniai gali pasikartoti. Pasikartojančius pirminius veiksnius galima parašyti kompaktiškiau naudojant . Tegu skaičių skaidyme pirminis koeficientas p 1 atsiranda s 1 kartą, pirminis veiksnys p 2 – s 2 kartus ir tt, p n – s n kartų. Tada skaičiaus a pirminis faktorius gali būti parašytas kaip a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ši įrašymo forma yra vadinamoji Kanoninis skaičiaus faktorizavimas į pirminius veiksnius.

Pateiksime skaičiaus kanoninio skaidymo į pirminius veiksnius pavyzdį. Praneškite mums apie skaidymą 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, jo kanoninis žymėjimas turi formą 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Kanoninis skaičiaus skirstymas į pirminius veiksnius leidžia rasti visus skaičiaus daliklius ir skaičiaus daliklių skaičių.

Algoritmas skaičiui suskaidyti į pirminius veiksnius

Norėdami sėkmingai susidoroti su skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius, turite labai gerai žinoti straipsnio pirminius ir sudėtinius skaičius.

Teigiamo sveikojo skaičiaus a, viršijančio vieną, skaidymo proceso esmė aišku iš pagrindinės aritmetikos teoremos įrodymo. Esmė yra nuosekliai rasti skaičių a, a 1, a 2, ..., a n-1 mažiausius pirminius daliklius p 1, p 2, ..., p n, kurie leidžia gauti lygybių eilę a=p 1 ·a 1, kur a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, kur a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , kur a n =a n-1:p n . Kai paaiškėja, kad a n =1, tai lygybė a=p 1 ·p 2 ·…·p n duos norimą skaičiaus a skaidymą į pirminius veiksnius. Čia taip pat reikėtų pažymėti, kad p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

Belieka išsiaiškinti, kaip kiekviename žingsnyje rasti mažiausius pirminius veiksnius, ir turėsime algoritmą, kaip skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius. Pirminių skaičių lentelė padės mums rasti pirminius veiksnius. Parodykime, kaip jį naudoti norint gauti mažiausią skaičiaus z pirminį daliklį.

Iš pirminių skaičių lentelės paeiliui paimame pirminius skaičius (2, 3, 5, 7, 11 ir t. t.) ir padalijame iš jų gautą skaičių z. Pirmasis pirminis skaičius, iš kurio z padalintas tolygiai, bus mažiausias jo pirminis daliklis. Jei skaičius z yra pirminis, tai mažiausias jo pirminis daliklis bus pats skaičius z. Čia reikia priminti, kad jei z nėra pirminis skaičius, tai jo mažiausias pirminis daliklis neviršija skaičiaus , kur yra nuo z. Taigi, jei tarp pirminių skaičių, neviršijančių , nebuvo nei vieno skaičiaus z daliklio, tai galime daryti išvadą, kad z yra pirminis skaičius (daugiau apie tai parašyta teorijos skyriuje po antrašte Šis skaičius yra pirminis arba sudėtinis ).

Kaip pavyzdį parodysime, kaip rasti mažiausią skaičiaus 87 pirminį daliklį. Paimkime skaičių 2. 87 padaliname iš 2, gauname 87:2=43 (likęs 1) (jei reikia, žr. straipsnį). Tai yra, dalijant 87 iš 2, liekana yra 1, taigi 2 nėra skaičiaus 87 daliklis. Mes paimame kitą pirminį skaičių iš pirminių skaičių lentelės, tai yra skaičius 3. Padalinkite 87 iš 3, gausime 87:3=29. Taigi 87 dalijasi iš 3, todėl skaičius 3 yra mažiausias skaičiaus 87 pirminis daliklis.

Atkreipkite dėmesį, kad bendruoju atveju, norint įtraukti skaičių a į pirminius veiksnius, mums reikia pirminių skaičių lentelės iki skaičiaus, ne mažesnio kaip . Kiekviename žingsnyje turėsime remtis šia lentele, todėl turime ją turėti po ranka. Pavyzdžiui, norint padalyti skaičių 95 į pirminius veiksnius, mums reikės tik pirminių skaičių lentelės iki 10 (nes 10 yra didesnis nei ). O norint išskaidyti skaičių 846 653, jau reikės pirminių skaičių lentelės iki 1000 (nes 1000 yra didesnis nei ).

Dabar turime pakankamai informacijos, kad galėtume užsirašyti algoritmas, skirtas skaičių padalyti į pirminius veiksnius. Skaičiaus a skaidymo algoritmas yra toks:

• Paeiliui rūšiuodami skaičius iš pirminių skaičių lentelės, randame mažiausią skaičiaus a pirminį daliklį p 1, po kurio apskaičiuojame 1 =a:p 1. Jei a 1 =1, tai skaičius a yra pirminis, o pats jis yra jo išskaidymas į pirminius veiksnius. Jei a 1 nėra lygus 1, tada turime a=p 1 ·a 1 ir pereiname prie kito žingsnio.
• Surandame mažiausią skaičiaus a 1 pirminį daliklį p 2, kad tai padarytume, iš eilės surūšiuojame skaičius iš pirminių skaičių lentelės, pradedant nuo p 1 , ir tada apskaičiuojame a 2 =a 1:p 2 . Jei a 2 =1, tai reikalingas skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius turi formą a=p 1 ·p 2. Jei a 2 nėra lygus 1, tada turime a=p 1 ·p 2 ·a 2 ir pereiname prie kito žingsnio.
• Eidami per skaičius iš pirminių skaičių lentelės, pradedant p 2, randame mažiausią skaičiaus a 2 pirminį daliklį p 3, po kurio apskaičiuojame a 3 =a 2:p 3. Jei a 3 =1, tai reikalingas skaičiaus a skaidymas į pirminius veiksnius yra a=p 1 ·p 2 ·p 3. Jei 3 nėra lygus 1, tada turime a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 ir pereiname prie kito žingsnio.
• Mažiausią skaičiaus a n-1 pirminį daliklį p n randame surūšiuodami pirminius skaičius, pradedant nuo p n-1, taip pat a n =a n-1:p n, o a n lygus 1. Šis žingsnis yra paskutinis algoritmo žingsnis, čia gauname reikiamą skaičiaus a skaidymą į pirminius veiksnius: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Aiškumo dėlei visi rezultatai, gauti kiekviename skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmo žingsnyje, pateikiami šios lentelės forma, kurioje skaičiai a, a 1, a 2, ..., a n rašomi iš eilės. stulpelyje į kairę nuo vertikalios linijos, o į dešinę nuo linijos - atitinkamus mažiausius pirminius daliklius p 1, p 2, ..., p n.

Belieka tik apsvarstyti kelis gauto algoritmo, skirto skaičių skaidymui į pirminius veiksnius, taikymo pavyzdžius.

Pirminio faktoriaus pavyzdžiai

Dabar panagrinėsime išsamiai faktoringo skaičių į pirminius veiksnius pavyzdžiai. Išskaidydami naudosime ankstesnės pastraipos algoritmą. Pradėkime nuo paprastų atvejų ir palaipsniui juos komplikuosime, kad susidurtume su visais įmanomais niuansais, kurie iškyla skaidant skaičius į pirminius veiksnius.

Pavyzdys.

Padalinkite skaičių 78 į pirminius koeficientus.

Sprendimas.

Pradedame ieškoti skaičiaus a=78 pirmojo mažiausio pirminio daliklio p 1. Norėdami tai padaryti, pradedame rūšiuoti pirminius skaičius iš pirminių skaičių lentelės. Paimame skaičių 2 ir iš jo padaliname 78, gauname 78:2=39. Skaičius 78 dalinamas iš 2 be liekanos, todėl p 1 =2 yra pirmasis rastas skaičiaus 78 pirminis daliklis. Šiuo atveju a 1 =a:p 1 =78:2=39. Taigi gauname lygybę a=p 1 ·a 1, kurios forma yra 78=2·39. Akivaizdu, kad 1 = 39 skiriasi nuo 1, todėl pereiname prie antrojo algoritmo žingsnio.

Dabar ieškome mažiausio skaičiaus a 1 =39 pirminio daliklio p 2. Skaičius pradedame skaičiuoti nuo pirminių skaičių lentelės, pradedant nuo p 1 =2. 39 padaliname iš 2, gauname 39:2=19 (likęs 1). Kadangi 39 nėra tolygiai dalijamas iš 2, tai 2 nėra jo daliklis. Tada iš pirminių skaičių lentelės paimame kitą skaičių (skaičius 3) ir iš jo padaliname 39, gauname 39:3=13. Todėl p 2 =3 yra mažiausias skaičiaus 39 pirminis daliklis, o a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Turime lygybę a=p 1 ·p 2 ·a 2 formoje 78=2 · 3 · 13. Kadangi 2 = 13 skiriasi nuo 1, pereiname prie kito algoritmo žingsnio.

Čia reikia rasti mažiausią skaičiaus a 2 =13 pirminį daliklį. Ieškodami mažiausio skaičiaus 13 pirminio daliklio p 3, iš eilės rūšiuosime pirminių skaičių lentelės skaičius, pradedant nuo p 2 =3. Skaičius 13 nesidalija iš 3, nes 13:3=4 (1 likusioji dalis), taip pat 13 nesidalija iš 5, 7 ir 11, nes 13:5=2 (3 likusioji dalis), 13:7=1 (6 poilsis) ir 13:11=1 (2 poilsis). Kitas pirminis skaičius yra 13, o 13 dalijasi iš jo be liekanos, todėl mažiausias pirminis daliklis p 3 iš 13 yra pats skaičius 13, o a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Kadangi a 3 =1, tai šis algoritmo žingsnis yra paskutinis, o reikalingas skaičiaus 78 išskaidymas į pirminius veiksnius yra 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Atsakymas:

78=2·3·13.

Pavyzdys.

Išreikškite skaičių 83 006 kaip pirminių veiksnių sandaugą.

Sprendimas.

Pirmajame skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmo žingsnyje randame p 1 =2 ir a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, iš kurių 83,006=2·41,503.

Antrame žingsnyje išsiaiškiname, kad 2, 3 ir 5 nėra pirminiai skaičiaus a 1 =41,503 dalikliai, o skaičius 7 yra, nes 41,503:7=5,929. Turime p 2 = 7, a 2 =a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Taigi 83 006 = 2 7 5 929.

Mažiausias skaičiaus a 2 =5 929 pirminis daliklis yra skaičius 7, nes 5 929:7 = 847. Taigi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, iš kurių 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.

Toliau randame, kad skaičiaus a 3 =847 mažiausias pirminis daliklis p 4 yra lygus 7. Tada a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, taigi 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121.

Dabar randame mažiausią skaičiaus a 4 =121 pirminį daliklį, tai yra skaičius p 5 =11 (kadangi 121 dalijasi iš 11, o ne dalijasi iš 7). Tada a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 ir 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Galiausiai mažiausias skaičiaus a 5 =11 pirminis daliklis yra skaičius p 6 =11. Tada a 6 =a 5:p 6 =11:11 = 1. Kadangi 6 =1, šis skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmo žingsnis yra paskutinis, o norimas išskaidymas yra 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Gautas rezultatas gali būti parašytas kaip kanoninis skaičiaus išskaidymas į pirminius koeficientus 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Atsakymas:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 yra pirminis skaičius. Iš tiesų, jis neturi vieno pirminio daliklio, neviršijančio ( gali būti apytiksliai įvertintas kaip , nes akivaizdu, kad 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Atsakymas:

897 924 289 = 937 967 991.

Dalijamumo testų naudojimas pirminiam faktoriui

Paprastais atvejais skaičių galite išskaidyti į pirminius veiksnius nenaudodami išskaidymo algoritmo, pateikto šio straipsnio pirmoje pastraipoje. Jei skaičiai nėra dideli, tada norint juos išskaidyti į pirminius veiksnius, dažnai pakanka žinoti dalijimosi požymius. Pateiksime paaiškinimų pavyzdžių.

Pavyzdžiui, skaičių 10 turime įtraukti į pirminius veiksnius. Iš daugybos lentelės žinome, kad 2 · 5 = 10, o skaičiai 2 ir 5 yra akivaizdžiai pirminiai, todėl skaičiaus 10 pirminis faktorius atrodo kaip 10 = 2 · 5.

Kitas pavyzdys. Naudodamiesi daugybos lentele, skaičių 48 įtrauksime į pirminius koeficientus. Mes žinome, kad šeši yra aštuoni – keturiasdešimt aštuoni, tai yra, 48 = 6,8. Tačiau nei 6, nei 8 nėra pirminiai skaičiai. Bet mes žinome, kad du kartus trys yra šeši, o du kartus keturi yra aštuoni, tai yra, 6=2·3 ir 8=2·4. Tada 48=6·8=2·3·2·4. Belieka prisiminti, kad du kart du yra keturi, tada gauname norimą skaidymą į pirminius koeficientus 48 = 2·3·2·2·2. Parašykime šį išplėtimą kanonine forma: 48=2 4 ·3.

Tačiau į pirminius koeficientus įtraukdami skaičių 3 400 galite naudoti dalijamumo kriterijus. Dalijimosi iš 10, 100 ženklai leidžia teigti, kad 3400 dalijasi iš 100, kai 3400=34·100, o 100 dalijasi iš 10, kai 100=10·10, todėl 3400=34·10·10. Ir remiantis dalijimosi iš 2 testu, galime teigti, kad kiekvienas iš 34, 10 ir 10 koeficientų dalijasi iš 2, gauname 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Visi gaunamo išplėtimo veiksniai yra paprasti, todėl ši plėtra yra pageidaujama. Belieka tik pertvarkyti veiksnius taip, kad jie eitų didėjimo tvarka: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Taip pat užrašykime kanoninį šio skaičiaus išskaidymą į pirminius koeficientus: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Išskaidydami duotą skaičių į pirminius koeficientus, paeiliui galite naudoti tiek dalijimosi ženklus, tiek daugybos lentelę. Įsivaizduokime skaičių 75 kaip pirminių veiksnių sandaugą. Dalumo iš 5 testas leidžia teigti, kad 75 dalijasi iš 5, ir gauname, kad 75 = 5·15. O iš daugybos lentelės žinome, kad 15=3·5, vadinasi, 75=5·3·5. Tai reikalingas skaičiaus 75 išskaidymas į pirminius veiksnius.

Bibliografija.

• Vilenkinas N.Ya. ir kt.. Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
• Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
• Mikhelovičius Sh.H. Skaičių teorija.
• Kulikovas L.Ya. ir kt.. Algebros ir skaičių teorijos uždavinių rinkinys: Vadovėlis fizikos ir matematikos studentams. pedagoginių institutų specialybės.

Išskaidykime skaičių 120 į pirminius koeficientus

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Sprendimas
Išplėskime skaičių 120

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
30: 2 = 15 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
15: 3 = 5
Mes užbaigiame padalijimą, nes 5 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 120 = 2∙ 2∙ 2∙ 3∙ 5

Išskaidykime skaičių 246 į pirminius koeficientus

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Sprendimas
Išskaidykime skaičių 246 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Mes pradedame pasirinkti daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas pasirodo pirminis skaičius

246: 2 = 123 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
123: 3 = 41 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 3.
Mes užbaigiame padalijimą, nes 41 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 246 = 2∙ 3∙ 41

Išskaidykime skaičių 1463 į pirminius koeficientus

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Sprendimas
Išplėskime skaičių 1463 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Mes pradedame pasirinkti daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas pasirodo pirminis skaičius

1463: 7 = 209 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 7
209: 11 = 19
Mes užbaigiame padalijimą, nes 19 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Išskaidykime skaičių 1268 į pirminius koeficientus

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Sprendimas
Išplėskime skaičių 1268 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Mes pradedame pasirinkti daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas pasirodo pirminis skaičius

1268: 2 = 634 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
634: 2 = 317 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2.
Mes užbaigiame padalijimą, nes 317 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Išskaidykime skaičių 442464 į pirminius koeficientus

442464

Sprendimas
Išplėskime skaičių 442464 į pagrindinius veiksnius ir paryškinkite juos žalia spalva. Mes pradedame pasirinkti daliklį iš pirminių skaičių, pradedant mažiausiu pirminiu skaičiumi 2, kol koeficientas pasirodo pirminis skaičius

442464: 2 = 221232 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
221232: 2 = 110616 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
110616: 2 = 55308 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
55308: 2 = 27654 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
27654: 2 = 13827 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 2
13827: 3 = 4609 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 3
4609: 11 = 419 - dalijasi iš pirminio skaičiaus 11.
Mes užbaigiame padalijimą, nes 419 yra pirminis skaičius

Atsakymas: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

Pamoka 6 klasėje šia tema

„Pagrindinis faktorizavimas“

Pamokos tikslai:

Švietimas:

Ugdyti supratimą apie skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gebėjimą praktiškai naudoti atitinkamą algoritmą.

Ugdyti gebėjimus naudoti dalijamumo ženklus skaidant skaičius į pirminius veiksnius.

Švietimas:

Ugdykite skaičiavimo įgūdžius, gebėjimą apibendrinti, analizuoti, nustatyti modelius ir palyginti.

Švietimas:

Ugdyti dėmesį, matematinio mąstymo kultūrą, rimtą požiūrį į švietėjišką darbą.

Pamokos turinys:

1. Skaičiavimas žodžiu.

2. Apimtos medžiagos kartojimas.

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

4. Medžiagos tvirtinimas.

5. Refleksija.

6. Pamokos apibendrinimas.

Per užsiėmimus

Motyvacija (apsisprendimas) edukacinei veiklai.

Įvadas:

Sveiki bičiuliai. Mūsų pamokos tema yra „Skaičių įvedimas į pirminius veiksnius“. Jūs jau iš dalies susipažinote. O kad geriau išsikeltume pamokos tikslą, truputį dirbsime žodžiu.

Atlikite veiksmus (žodžiu) .

Apskaičiuoti:

1. 15 x (325–325) + 236 x 1 – 30:1 206

2. 207 – (0 x 4376 -0:585) + 315: 315 208

3. (60 – 0:60) + (150:1 –48 x 0) 210

4. (707:707 +211x1):1 -0:123 212

Išmoktos medžiagos kartojimas

Tęskite gautą eilutę su 3 skaičiais

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Pasirinkite iš jų dalijamus skaičius

iki: 2 (206; 208;210; 212;214;216;218)

3: (210;216)

9: (216)

5: (210)

4: (208; 212; 216)

Suformuluokite dalijimosi požymius

Klausimai: 1. Kokie skaičiai vadinami pirminiais?

2. Kokie skaičiai vadinami sudėtiniais?

3. Koks skaičius yra 1?

4. Įvardykite visus pirminius skaičius pirmųjų dviejų dešimčių.

5. Kiek yra pirminių skaičių?

6.Ar skaičius 32 yra pirminis?

7.Ar skaičius 73 yra pirminis?

Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskime labai įdomią problemą.

Kažkada buvo bėdos ir močiutė. Jie turėjo vištienos Ryaba. Višta deda kas septintą kiaušinį auksinį, o kas trečią – sidabrinį. Ar tai gali būti įmanoma?

(Atsakymas: ne, nes 21 kiaušinis gali būti auksinis arba sidabrinis) Kodėl?

Ko šiandien turėtume išmokti klasėje? (Išskaidykite bet kokius skaičius į pirminius veiksnius)

Kodėl, jūsų nuomone, mums to reikia? (siekiant išspręsti sudėtingesnius pavyzdžius ir sumažinti trupmenas)

Šiandien mūsų pamokos tema padės mums geriau suprasti ir išspręsti tokias problemas.

Išspręskite problemą: turite pasirinkti stačiakampį žemės sklypą, kurio plotas yra 18 kvadratinių metrų. m., Kokie galėtų būti šio ploto matmenys, jei jie turi būti išreikšti natūraliaisiais skaičiais?

Sprendimas: 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3

2. 18 = 2 x 9 = 2x3x3

3. 18 = 3 x 6 = 3 x 2 x 3

Dirbti porose.

Ką mes padarėme? (Pateikiamas kaip produktas arba faktorius). Ar įmanoma tęsti skaidymą? Bet kaip? Ką tu gavai?

Klausimas: Ką galima pasakyti apie šiuos daugiklius?

Visi veiksniai yra pirminiai skaičiai.

Atidarykite vadovėlį Ką turėčiau daryti? Kas gali man paaiškinti, kaip tai daroma? (Diskusija poromis)

Naudodamiesi analizuojamu pavyzdžiu, skaičių 84 išskaidysime į pirminius veiksnius (dekompozicijos algoritmas):

84 2 756 2 – lentoje parodo mokytojas.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2 ∙3∙7

7 7 63 3

1 21 3 756 = 2x2x3x3x3x3

Koeficientas 756 į pirminius veiksnius. Palyginkite su mano sprendimu. ką pastebėjai?

194 puslapyje raskite atsakymą į šį klausimą?

Bet kurį skaičių galima išplėsti į pirminių veiksnių sandaugą

vienintelis kelias.

Sustiprinti išmoktą medžiagą .

1. Padalinkite skaičius į pirminius koeficientus: 20; 188; 254.

mes patikrinsime 12 skaidrė

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.

Visiems siūlomos kortelės. Mokiniai nusprendžia ir patikrina originalą, kuris yra ant mokytojo stalo. Jei viskas padaryta teisingai, suvestinės lentelėje pasižymėkite pliuso ženklą. (Išspręskite pagal 3)

Kortelė Nr.2. Padalinkite skaičius į pirminius koeficientus: 30; 136; 438.

Kortelės numeris 3. Padalinkite skaičius į pirminius koeficientus: 40; 125; 326.

Kortelė Nr.4. Padalinkite skaičius į pirminius koeficientus: 50; 78; 285.

Kortelė Nr.5. Padalinkite skaičius į pirminius koeficientus: 60; 654; 99.

Kortelės numeris 6. Padalinkite skaičius į pirminius koeficientus: 70; 65; 136.

Atlikę darbus patikrinsime.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3,5∙9.

№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Apatinė eilutė.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

(Skaituoti natūralųjį skaičių į pirminius veiksnius reiškia skaičių pavaizduoti kaip pirminių skaičių sandaugą.)

2) Ar yra unikalus natūraliojo skaičiaus skaidymas į pirminius veiksnius?

(Kad ir kaip išskaidytume natūralųjį skaičių į pirminius veiksnius, gauname vienintelį jo skaidymą; į veiksnių eilę neatsižvelgiama.)

Namų darbai.

Padalinkite bet kuriuos 4 skaičius į pirminius veiksnius.

Ką reiškia faktoringas? Kaip tai padaryti? Ko galima pasimokyti iš skaičių įtraukimo į pirminius veiksnius? Atsakymai į šiuos klausimus iliustruojami konkrečiais pavyzdžiais.

Apibrėžimai:

Skaičius, turintis lygiai du skirtingus daliklius, vadinamas pirminiu.

Skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu.

Natūralųjį skaičių skaičiuoti reiškia pavaizduoti jį kaip natūraliųjų skaičių sandaugą.

Suskaičiuoti natūralųjį skaičių į pirminius veiksnius reiškia pavaizduoti jį kaip pirminių skaičių sandaugą.

Pastabos:

• Išskaidant pirminį skaičių, vienas iš veiksnių yra lygus vienam, o kitas – pačiam skaičiui.
• Nėra prasmės kalbėti apie faktoringo vienybę.
• Sudėtinis skaičius gali būti įtrauktas į veiksnius, kurių kiekvienas skiriasi nuo 1.

	Paskaičiuokime skaičių 150. Pavyzdžiui, 150 yra 15 kartų 10. 15 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti įtrauktas į pirminius koeficientus 5 ir 3. 10 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti įtrauktas į pirminius koeficientus 5 ir 2. Rašydami jų skaidymus į pirminius koeficientus, o ne į 15 ir 10, gavome skaičiaus 150 skaidymą.
	Skaičius 150 gali būti padalytas kitu būdu. Pavyzdžiui, 150 yra skaičių 5 ir 30 sandauga. 5 yra pirminis skaičius. 30 yra sudėtinis skaičius. Tai gali būti laikoma 10 ir 3 sandauga. 10 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti įtrauktas į pirminius koeficientus 5 ir 2. Mes gavome 150 faktorių į pirminius veiksnius kitu būdu.
	Atminkite, kad pirmasis ir antrasis plėtiniai yra vienodi. Jie skiriasi tik veiksnių tvarka. Įprasta veiksnius rašyti didėjančia tvarka.
Kiekvienas sudėtinis skaičius gali būti suskirstytas į pirminius veiksnius unikaliu būdu, atsižvelgiant į veiksnių eilę.

Skaičiuodami didelius skaičius į pirminius veiksnius, naudokite stulpelių žymėjimą:

	Mažiausias pirminis skaičius, kuris dalijasi iš 216, yra 2. Padalinkite 216 iš 2. Gauname 108.
	Gautas skaičius 108 yra padalintas iš 2. Atlikime padalijimą. Rezultatas yra 54.
	Pagal dalijimosi iš 2 testą, skaičius 54 dalijasi iš 2. Po padalijimo gauname 27.
	Skaičius 27 baigiasi nelyginiu skaitmeniu 7. Tai Nedalijama iš 2. Kitas pirminis skaičius yra 3. Padalinkite 27 iš 3. Gauname 9. Mažiausias pirminis Skaičius, iš kurio 9 dalijasi, yra 3. Pats trys yra pirminis skaičius, jis dalijasi iš savęs ir vieneto. Padalinkime 3 iš savęs. Galų gale gavome 1.

• Skaičius dalijasi tik iš tų pirminių skaičių, kurie yra jo skaidymo dalis.
• Skaičius dalijasi tik į tuos sudėtinius skaičius, kurių skaidymas į pirminius veiksnius yra visiškai jame.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

	4900 dalijasi iš pirminių skaičių 2, 5 ir 7 (jie įtraukiami į skaičiaus 4900 išplėtimą), bet nesidalina, pavyzdžiui, iš 13.
	11 550 75. Taip yra todėl, kad skaičiaus 75 skaidymas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus 11550 skaidymą. Padalijimo rezultatas bus 2, 7 ir 11 koeficientų sandauga. 11550 nesidalija iš 4, nes išplečiant keturis yra papildomi du.

Raskite skaičiaus a dalijimosi iš skaičiaus b koeficientą, jei šie skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius taip: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Skaičiaus b skaidymas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus a skaidymą.
	A dalijimo iš b rezultatas yra trijų skaičių, likusių a plėtinyje, sandauga. Taigi atsakymas yra: 30.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija. 2006 m.
3. Depmanas I.Ya., Vilenkinas N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. - M.: Išsilavinimas, 1989 m.
4. Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 klasėms. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
5. Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
6. Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O., Volkovas M.V. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas 5-6 vidurinės mokyklos klasėms. - M.: Edukacija, Matematikos mokytojų biblioteka, 1989 m.

1. Interneto portalas Matematika-na.ru ().
2. Interneto portalas Math-portal.ru ().

Namų darbai

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr.127, Nr.129, Nr.141.
2. Kitos užduotys: Nr.133, Nr.144.